ГЛАВА 2: Математическая статистика и случайные сигналы
1. Сигнал представлен последовательностью, содержащей 100000 дискретных отсчётов, каждый из которых кодируется 10 битами. Предполагается, что операции сложения и вычитания выполняются за 1 мкс, операции умножения и деления — за 3 мкс, операция извлечения квадратного корня — за 10 мкс, временем выполнения всех остальных операций (таких как адресация элементов массивов и циклов) можно пренебречь. Оценить время вычисления среднего значения и среднеквадратического отклонения (СКО) такого сигнала, используя следующие методы:
а. Метод непосредственной оценки (Табл. 2.1).
б. Метод плавающей статистики (Табл. 2.2).
(Вам потребуется внести изменения в текст программы, содержащейся в Табл. 2.2, чтобы среднее значение и среднеквадратическое отклонение вычислялись для всего сигнала целиком, а не после каждого отсчёта. Для этого достаточного переместить оператор NEXT I% из строки 320 в строку 250.
в. Метод, использующий гистограмму (Табл. 2.3).
г. Повторить расчёт для варианта в), считая, что каждый отсчёт представлен 32 битами. Какой объём памяти требуется для хранения гистограммы, если каждый её столбец занимает 2 байта?
2. Вас попросили оценить качество нового прибора, предназначенного для обнаружения раковой опухоли у пациентов. Анализируя состояние тех людей, для которых точно известно, что они здоровы, вы установили, что результаты исследований подчиняются нормальному закону распределения с математическим ожиданием 100 и СКО 10. Аналогичные эксперименты проводились для больных раком людей, результаты исследований которых также распределились по нормальному закону, но математическое ожидание в этом случае равно 120, а СКО равно 8. Когда диагностике подвергается пациент, состояние здоровья которого заранее не известно, то используется метод сравнения с порогом: выбирается некоторое пороговое значение, например 110, и если снятое показание прибора < 110, делается предварительный вывод, что пациент здоров, а если снятое показание > 110, делается предварительный вывод, что пациент болен.
а. Постройте схематически графики двух плотностей вероятности и укажите положение порога.
б. Для распределения, соответствующего здоровым пациентам, определите, во сколько раз расстояние между выбранным порогом и математическим ожиданием больше, чем СКО?
в. Для распределения, соответствующего больным пациентам, определите, во сколько раз расстояние между порогом и математическим ожиданием превышает СКО?
г. Какова вероятность того, что при обследовании здорового пациента прибор покажет значение меньше 110? Больше 110?
д. Какова вероятность того, что при обследовании больного пациента прибор покажет значение меньше 110? Больше 110?
е. Какой процент больных пациентов на основании показаний прибора попадёт в группу здоровых?
ж. Какой процент здоровых пациентов попадёт в группу больных?
3. Пусть для обнаружения раковой опухоли используется тот же прибор, что и в задаче 2, но порог выбирается таким образом, чтобы вероятность выявления опухоли у больного пациента равнялась 99%. Какова при этом вероятность ложного выявления опухоли у здорового пациента?
4. Для прогноза курса ценных бумаг на фондовом рынке на 30 дней вперёд были опрошены двенадцать финансовых экспертов. Ими были даны следующие оценки: 996, 868, 855, 956, 867, 933, 866, 887, 936, 901, 818, 956. Фактический курс, зафиксированный через 30 дней, оказался равным 876.
а. Оцените математическое ожидание прогноза?
б. Оцените СКО прогноза?
в. Оцените погрешность предсказания?
г. Оцените точность предсказания?
5. Некоторый астроном измерял яркость звезды 30 ночей подряд. На точность проводимых им измерений влияла турбулентность атмосферы, а также ряд других источников случайных ошибок. Коэффициент вариации для данного процесса измерения равен 3.0%. В одном из опытов астроном зафиксировал значение, на 6.9% превышающее среднюю величину.
а. Чему равно отношение сигнал—шум для выборки, состоящей из 30 результатов измерения?
б. Чему равна вероятность того, что из-за влияния случайных ошибок хотя бы один из отсчётов отклонится от среднего значения на 6.9% и более?
в. В праве ли астроном утверждать, что отклонение от среднего значения на 6.9% отражает действительное изменение яркости звезды? Ответ обоснуйте.
г. Ответьте на вопросы б) и в), считая, что отклонение полученного результата от среднего значения составляет 10.2%.
6. Если складываются два и более случайных сигнала, то математическое ожидание результирующего сигнала равно сумме математических ожиданий каждого из сигналов, участвующих в сложении. Аналогичным образом, дисперсия результирующего сигнала равна сумме дисперсий всех складываемых сигналов. Выведите уравнение, связывающее СКО сигнала, полученного после сложения, с СКО исходных сигналов.
7. Найдите математическое ожидание и СКО сигнала, образованного в результате сложения сигналов со следующими параметрами.
а. Математическое ожидание 1 В и СКО 20 мВ; математическое ожидание 1 В и СКО 20 мВ.
б. Математическое ожидание 1 В и СКО 20 мВ; математическое ожидание 1 В и СКО 2 мВ.
в. Математическое ожидание 1 В и СКО 20 мВ; математическое ожидание 1 В и СКО 0.2 мВ.
г. Математическое ожидание 3 В и СКО 10 мВ; математическое ожидание 5 В и СКО 15 мВ.
д. Математическое ожидание 10 В и СКО 10 мВ; математическое ожидание 5 В и СКО 15 мВ; математическое ожидание 0.2 В и СКО 100 мВ.
8. Электрические схемы содержат множество источников шума, однако результирующий шум определяется преимущественно одним из этих источников. Основываясь на тех ответах, которые вы дали в двух предыдущих задачах, объясните данный факт.