ГЛАВА 5: ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

1. Заданы два дискретных сигнала x[n] и y[n], длина которых составляет 8 отсчётов:

x[n]: 1, 2, 3, 4,–4,–3,–2,–1

y[n]: 0,–1, 0, 1, 0,–1, 0, 1

Если необходимо, то эти сигналы можно дополнять нулевыми отсчётами слева и справа. Рассчитайте и схематически изобразите перечисленные ниже сигналы.

а. x[n];

б. y[n];

в. 5x[n];

г. –7y[n];

д. x[n – 3];

е. y[n + 1];

ж. 2x[n + 1];

з. –y[n – 1];

и. x[n] + y[n];

к. –2x[n – 1] + 3y[n + 2];

л. 3x[n + 2] – 2y[n + 2];

м. x[n] + x[n – 2];

н. 2x[n] – 3x[n – 2] + 3y[n + 1].

2. Изобразите схематически следующие дискретные сигналы для случая:

–8 < n < 8.

а. x[n] = sin(2πn/8);

б. x[n] = cos(2πn/4);

в. x[n] = sin(2πn/2);

г. x[n] = cos(2πn/2);

д. x[n] = n – 3, если n > 2; = 0 в любом другом случае;

е. x[n] = 1, если n < –3; = 0, если 0 < n < 4; = 5 в любом другом случае.

3. Изобразите схематически следующие аналоговые сигналы, если область определения задана неравенством: –8 < t < 8.

а. x(t) = sin(2πt/8);

б. x(t) = cos(2πt/4);

в. x(t) = sin(2πt/2);

г. x(t) = cos(2πt/2);

д. x(t) = n – 3, если t > 2; = 0 в любом другом случае;

е. x(t) = 1, если t < –3; = 0, если 0 < t < 4; = 5 в любом другом случае.

4. Отсчёты сигнала с порядковыми номерами от 0 до 11 характеризуются следующими значениями: 0, 2, 3, 4, 3, 2,–1, 0, –2, –3, 2, 1. Рассчитайте и схематически изобразите сигналы, полученные в результате:

а. декомпозиции на основе сигналов с чётной и нечётной симметрией;

б. декомпозиции с прореживанием;

в. ступенчатой декомпозиции.

5. Два непрерывных сигнала b(t) и x(t) определяются следующими неравенствами:

b(t) = 1, если 0 < t < 2; = 0 в любом другом случае;

x(t) = –1, если 1 < t < 2;

= 1, если 2 < t < 3;

= 4, если 3 < t < 4;

= 2, если 4 < t < 5;

= 0 в любом другом случае.

а. Изобразите схематически b(t) и x(t).

б. Требуется показать, что x(t) можно представить состоящим из трёх промасштабированных и взятых со сдвигом сигналов b(t). То есть необходимо найти такие a1, a2, a3, s1, s2, s3, при которых: x(t) = a1*b(t – s1) + a2*b(t – s2) + a3*b(t – s3).

в. Изобразите схематически найденные компоненты.

6. Чтобы утверждать, что система линейна, достаточно доказать математически, что для неё выполняются свойства аддитивности и однородности. Однако на практике очень часто линейность системы анализируется экспериментально: на вход системы подаётся некоторый тестовый сигнал и наблюдается реакция на выходе системы (активный эксперимент).

а. Можно ли, пользуясь одними лишь экспериментальными данными о сигналах на входе и выходе системы и не установив между ними взаимосвязи с помощью математических формул, утверждать, что система линейна? Ответ обоснуйте.

б. Можно ли таким способом установить нелинейность системы? Ответ обоснуйте.

Чтобы вам было легче дать ответ на поставленные вопросы, представьте, что анализируемая система — это «чёрный ящик». Вы подаёте тестовый сигнал на вход «чёрного ящика» и наблюдаете реакцию на его выходе. Вы не обладаете полной информацией о том, что происходит «внутри» системы. Возможно, в «чёрном ящике» сидит злой демон, пытающийся помешать вам в ваших экспериментах. А может быть и так, что в системе присутствует некоторый таймер, по которому работа системы сбивается раз в десять миллионов лет.