ГЛАВА 6: СВЁРТКА

1. Импульсная характеристика системы, h[n], задана своими дискретными отсчётами: 1, 2, 2, 1, 0, –1, 0, 0, взятыми в точках с индексами 0..7. Вычислите реакции данной системы на следующие входные воздействия.

а. 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;

б. –3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;

в. 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0;

г. 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0;

д. 3, 0,–1, 0, 0, 2, 0, 0, 0;

е. 2,–1, 0, 0, 1, 0,–1, 0, 0.

2. Добавление нулевых отсчётов к сигналу — широко распространённая в ЦОС операция, получившая название «дополнение нулями». Ответьте на приведённые ниже вопросы, пользуясь полученными в предыдущей задаче результатами.

а. Как изменятся полученные выходные сигналы, если к концу импульсной характеристики добавить 5 нулевых отсчётов?

б. Как изменятся полученные выходные сигналы, если к концу каждой входной последовательности добавить 5 нулевых отсчётов?

в. Как изменятся полученные выходные сигналы, если 5 нулевых отсчётов добавить как к концу импульсной характеристики, так и к концу каждой входной последовательности?

г. Завершите приведённое здесь утверждение, выражающее влияние операции «дополнение нулями» на результат свёртки в общем виде: «Единственным изменением выходной последовательности, вызванным операцией дополнения M нулями входной последовательности или импульсной характеристики фильтра, является [впишите окончание утверждения]».

3. Два сигнала, x[n] и h[n], заданы своими дискретными отсчётами:

x[n]: 1, 0, 2, 3, 2, 1,–1,–2,–1, 0, 2, 3, 3, 2, 1, 1 (индексы 0…15),

h[n]: 1, 2, 3,–3,–2,–1 (индексы 0…5).

Считая, что y[n] = x[n] * h[n], и используя алгоритм, соответствующий описанию свёртки со стороны входа системы, определите вклад в отсчёты выходного сигнала y[n] следующих отсчётов входного сигнала:

а. x[2];

б. x[6];

в. x[9].

4. Воспользовавшись исходными данными предыдущей задачи, но используя алгоритм, рассматривающий свёртку со стороны выхода, рассчитайте следующие отсчёты выходного сигнала:

а. y[8];

б. y[10];

в. y[3];

г. y[18].

5. Два сигнала, a[n] и b[n], заданы своими дискретными отсчётами:

a[n]: 1, 0, 0, 2, 1, 0;

b[n]: 0,–1,–2, 0, 0, 1.

а. Вычислите a[n]*b[n], применив сначала импульсную декомпозицию a[n], затем свёртку каждого полученного компонента разложения с последовательностью b[n], а затем синтез (сложение) полученных компонент результирующего сигнала.

б. Вычислите a[n]*b[n], применив сначала импульсную декомпозицию b[n], затем свёртку каждого полученного компонента с последовательностью a[n], а затем синтез (сложение) полученных компонент результирующего сигнала.

в. Одинаковыми ли получились результаты в рассмотренных выше случаях? Какое свойство демонстрируется в данной задаче?

6. Вычислите свёртку последовательности: h[n] = 1, 2, 3, 0, 0 с приведёнными ниже сигналами (предполагается, что область определения каждого из сигналов ограничена отсчётами с индексами 0…7).

а. x[n] = «дельта-функция»[n];

б. x[n] = –5 «дельта-функция»[n – 2];

в. x[n] = 2 «дельта-функция»[n + 1] — «дельта-функция»[n + 1];

г. x[n] = 1, 2, 3, 0, 0 …

д. x[n] = –n, при 0 < n < 5; = 0 в любом другом случае;

е. x[n] = 2^(–n);

ж. x[n] = sin(2πn);

з. x[n] = cos(2πn);

и. x[n] = sin(πn).

7. Вычислите результат свёртки следующих пар сигналов (ответ представьте в форме математического уравнения).

а. h[n] = «дельта-функция»[n], x[n] = «дельта-функция»[n];

б. h[n] = «дельта-функция»[n], x[n] = «дельта-функция»[n – k];

в. h[n] = «дельта-функция»[n – 2], x[n] = «дельта-функция»[n – 1] + «дельта-функция»[n + 4];

г. h[n] = «дельта-функция»[n – 1] + «дельта-функция»[n + 1], x[n] = «дельта-функция»[n – a] + «дельта-функция»[n + b];

д. h[n] = «дельта-функция»[n], x[n] = exp(–n);

е. h[n] = «дельта-функция»[n + 2], x[n] = exp(n);

ж. h[n] = «дельта-функция»[n – 2], x[n] = exp(–n);

з. h[n] = exp(–n), x[n] = «дельта-функция»[n – 2];

и. h[n] = «дельта-функция»[n] — «дельта-функция»[n – 1], x[n] = exp(–n).

8. Финансовый эксперт ежедневно следит за курсом акций. Каждый день он рассчитывает среднее значение курса за последние 30 дней. Если работу по усреднению курса акций отождествлять с работой некоторой системы, то:

а. Что является входом и выходом такой системы?

б. Линейна ли данная система?

в. Какой вид имеет импульсная характеристика?

г. Для решения каких практических задач используется данная система?

д. Какой вид приобретает импульсная характеристика в общем случае, когда для усреднения используется M дней?

9. Пусть все отсчёты сигнала x[n], лежащие за пределами отрезка A <= n <= B, равны нулю, пусть также все отсчёты сигнала h[n], лежащие за пределами отрезка C <= n <= D, равны нулю. Тогда должны быть равны нулю все отсчёты сигнала x[n]*h[n], лежащие за пределами некоторого интервала E <= n <= F. Установите взаимосвязь E и F с величинами A, B, C, D.

10. Два сигнала, a[n] и b[n], заданы 6 дискретными отсчётами, как показано ниже. Вычислите a[n] * b[n] для приведённых далее условий.

a[n]: 1, 0, 0, 2, 1, 0.

b[n]: 0, –1, –2, 0, 0, 1.

а. Области определения обоих сигналов совпадают: 0…5.

б. Области определения обоих сигналов совпадают: 2…7.

в. Сигнал a[n] задан на множестве 0…5, а сигнал b[n] задан на множестве

–3…2.

г. Сигнал a[n] задан на множестве –10…–5, а сигнал b[n] задан на множестве –5…0.