ГЛАВА 7: СВОЙСТВА СВЁРТКИ

1. Разделите следующие сигналы на каузальные и некаузальные.

а. x[n] = «дельта-функция»[n];

б. x[n] = «дельта-функция»[n – 2];

в. x[n] = «дельта-функция»[n – 1] + «дельта-функция»[n + 1];

г. x[n] = «дельта-функция»[n] – 5 «дельта-функция»[n – 5];

д. x[n] = «дельта-функция»[n] + «дельта-функция»[n + 5];

е. x[n] = «дельта-функция»[n – 1] – «дельта-функция»[n – 4] + «дельта-функция»[n – 7];

ж. x[n] = exp(–n);

з. x[n] = exp(–abs(n)) (где "abs" — абсолютное значение);

и. x[n] = abs(n);

к. x[n] = n + abs(n).

2. Разделите сигналы из предыдущей задачи на сигналы с нулевой, линейной и нелинейной фазой.

3. Три линейные системы заданы своими импульсными характеристиками. Вычислите импульсные характеристики приведённых далее комбинаций этих систем.

система A: 3, 2, 1, 0;

система B: 0, 1,–1, 0;

система C: 1, 1, 1, 1.

а. Параллельное соединение систем A и B.

б. Параллельное соединение систем A, B и C.

в. Последовательное соединение систем A и B.

г. Последовательное соединение систем B и A.

д. Последовательное соединение систем A и B, включённое параллельно системе C.

4. Система A является «всепропускающей», т. е. любой входной сигнал проходит на выход системы без изменений. В качестве системы B выбран «идеальный» низкочастотный фильтр, пропускающий без искажения (и без задержки) все частоты ниже частоты среза и подавляющий всё более высокие частоты. Изобразите примерный вид импульсной характеристики b[n] системы B.

а. Как выглядит импульсная характеристика системы A?

б. Как следует изменить форму импульсной характеристики системы B, чтобы сигнал на выходе получился инвертированным (т.е. меняется только арифметический знак выходного сигнала)?

в. Как выглядит импульсная характеристика параллельного соединения двух заданных систем, если выходные сигналы систем складываются?

г. Как выглядит импульсная характеристика параллельного соединения двух заданных систем, если выход системы B вычитается из выхода системы A?

д. К какому типу фильтров относится система, полученная в пункте г)?

е. Опишите алгоритм перехода от низкочастотного фильтра (НЧ-фильтра) к высокочастотному (ВЧ-фильтру).

ж. Опишите алгоритм перехода от ВЧ-фильтра к НЧ-фильтру. Отличается ли данный алгоритм от описанного в предыдущем пункте?

з. В данной задаче система B имеет «идеальную» характеристику и не вносит искажений в пропускаемые фильтром частоты. Как изменится алгоритм, описанный в пункте з), если сигнал на выходе НЧ-фильтра будет появляться с небольшой задержкой относительно входного сигнала?

5. Из раздела математики, посвящённого интегральному и дифференциальному исчислению, известно, что операции интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными: можно сказать, что одна компенсирует действие другой. Докажите, что первая разность и дискретное интегрирование (суммирование с нарастающим итогом) также являются взаимно обратными операциями, т. е. последовательное выполнение этих операций эквивалентно использованию фильтра с импульсной характеристикой, описываемой дельта-функцией.

6. Аудиосигнал, отражаясь от стен комнаты, порождает эхо-сигналы, которые позволяют слушателю «ощутить» ограниченность размеров помещения. В данной задаче предполагается, что частота дискретизации аудиосигнала равна 44 кГц, скорость распространения звука равна 332 м/с. Расстояние от человека до стен в «маленькой» комнате составляет приблизительно 3 м, а в «большой» комнате — приблизительно 10 м.

а. Чему равна задержка между голосом человека и его эхом, отражённым от стен помещения, возникающая в «маленькой» комнате.

б. Скольким отсчётам цифрового сигнала соответствует такая задержка?

в. Как выглядит импульсная характеристика цифровой системы, моделирующей действие такого эхо-сигнала, если амплитуда эха составляет 20% от амплитуды сигнала?

г. Повторите пункты а)…в) для «большой» комнаты.

д. В реальной акустической обстановке каждый эхо-сигнал порождает вторичный эхо-сигнал. То есть один и тот же сигнал будет слышаться снова и снова, каждый раз со всё меньшей амплитудой. Как должна измениться импульсная характеристика моделирующей системы, построенная в пункте в), чтобы учесть все возникающие переотражения?