ГЛАВА 8: ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

1. Гармонический сигнал с частотой 1.7 кГц подвергается дискретизации с частотой 10000 отсчётов в секунду. Затем применяется ДПФ 2048-го порядка, а результат записывается в полярной форме. Изобразите графически зависимость амплитуды от частоты для всех четырёх форм частотного описания сигналов. Убедитесь, что вы правильно указали переменную частоты, границы диапазона и единицы измерения, а также верно зафиксировали частоту, на которой присутствует синусоидальная компонента.

2. Пик в спектре сигнала, полученном в результате ДПФ 256-го порядка, соответствует отсчёту номер 19.

а. Чему равно значение относительной частоты этого пика (вычисленное по отношению к частоте дискретизации)? Нужно ли для ответа на данный вопрос знать абсолютное значение частоты дискретизации?

б. Чему равно значение абсолютной частоты пика?

в. Чему равна частота дискретизации, если пик соответствует частоте 21.5 кГц в аналоговом сигнале?

г. Чему равна частота соответствующего пику гармонического сигнала, если частота дискретизации равна 100 кГц?

3. Рассчитайте и схематически изобразите базисные функции ДПФ 8-го порядка.

4. Дискретный сигнал задан 8 отсчётами: 20…27. В частотной области его можно описать действительными и мнимыми компонентами: R0…R4 и I0…I4. Запишите уравнения, связывающие частотную и временную области. Определите численные значения для всех базисных компонент, т. е. вместо sin(π/4) следует записать 0.7071. Насколько сложными для решения представляются данные уравнения?

5. Опираясь на результаты, полученные в предыдущей задаче, запишите 10 уравнений, позволяющих вычислить 10 отсчётов спектра сигнала на основе корреляционного метода. Найдите решения этих уравнений.

6. Сигнал задан в частотной области следующими массивами отсчётов:

действительная часть: 1, 2, 3, 3, 1,–2,–1, 1, 2;

мнимая часть: 0,–1,–2, 0, 0, 0, 2, 1, 0.

а. ДПФ какого порядка соответствует данному сигналу?

б. Рассчитайте амплитуды синусоид и косинусоид, из которых составляется временная форма описания сигнала.

в. Чему равно среднее значение сигнала во временной области?

7. Вам говорят, что следующие два массива отсчётов являются частотной формой описания некоторого сигнала, полученной в результате ДПФ 32-го порядка. Приведите два аргумента, опровергающих это утверждение.

действительная часть: 1,2,3,4,5,6,7,8,7,6,5,4,3,2,1,0;

мнимая часть: 8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7.

8. Выполните переход от действительной и мнимой координат, заданных ниже, к полярным координатам. Отобразите соответствующие точки на диаграмме аналогично Рис. 8.9. Достаточно ли воспользоваться уравнением: «фаза» = arctg(IP/RP), или требуются дополнительные преобразования?

а. RP = 1, IP = 1

б. RP = 1, IP = –1

в. RP = –1, IP = 1

г. RP = –1, IP = –1

д. RP = 1, IP = 0

е. RP = –1, IP = 0

ж. RP = 0, IP = 1

з. RP = 0, IP = –1