ГЛАВА 9: ПРИМЕНЕНИЕ ДПФ

1. При описании линейных систем используют три вида последовательностей: входной сигнал (несущий полезную информацию), импульсную характеристику системы (описывающую правило преобразования информации) и выходной сигнал (зависящий от двух предыдущих последовательностей). То, что ДПФ тоже имеет три основных назначения, — не случайно. Сопоставьте каждый из трёх вариантов использования ДПФ с соответствующим видом последовательностей. Опишите, как связаны варианты применения ДПФ с соответствующими сигналами.

2. Учёный получил экспериментальным путём выборку из 65536 отсчётов, взятых с частотой 1 МГц. Ему известно, что в полученном сигнале присутствует синусоидальная составляющая с частотой 100 кГц. Он желает узнать, присутствует ли в сигнале ещё одна составляющая на частоте 103 кГц. Для этого учёный вычисляет ДПФ 65536-го порядка, но, к своему удивлению, обнаруживает в спектре только шумы. Тогда он делает вывод, что искомый сигнал по амплитуде меньше шума в 4 раза (ОСШ = 0.25). Кроме того, по его заключению ОСШ должно быть не менее 3.0, чтобы сигнал можно было обнаружить на фоне шумов. Чтобы увеличить ОСШ, учёный решает разбить сигнал на отдельные сегменты, а затем провести усреднение получившихся спектров. Ответьте на следующие вопросы, а результаты решения представьте в форме таблицы.

а. Если исходный сигнал разбивается на сегменты длиной 16384 отсчёта, то каким будет разрешение спектра, полученного в результате усреднения (т.е. расстояние между ближайшими отсчётами спектра)? Ответ выразите в герцах. Сколько сегментов участвует в усреднении? Чему равно ОСШ спектра, полученного путём усреднения? Достигнута ли требуемая разрешающая способность по частоте? Достигнуто ли заданное желаемое ОСШ?

б. Ответьте на те же вопросы для сегментов меньшей длины: 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256 и 128.

3. Что бы вы посоветовали сделать учёному, чтобы улучшить качество эксперимента, описанного в предыдущей задаче?

4. Импульсная характеристика фильтра содержит 250 отсчётов и рассчитана таким образом, чтобы все частоты ниже 0.11 пропускались фильтром, а все частоты выше 0.12 подавлялись им. Чтобы оценить качество пропускаемого фильтром сигнала, вы стараетесь более подробно изучить его частотную характеристику в данном частотном диапазоне. Для этого вы дополняете импульсную характеристику фильтра нулями до 256 отсчётов и применяете ДПФ.

а. Сколько точек частотной характеристики попадают в полосу пропускания?

б. Ответьте на предыдущий вопрос, предположив, что порядок ДПФ равен 2048.

в. Ответьте на тот же вопрос, увеличив порядок ДПФ в 2⁵⁰ раз.

г. Существует ли какой-нибудь предел, накладываемый на число отсчётов, расположенных в полосе пропускания? Как определяется такой предел для апериодического ДПФ? Ответ обоснуйте.

5. Выполняется свёртка последовательности, содержащей 1000 дискретных отсчётов, с последовательностью, содержащей 128 отсчётов.

а. Чему равна длина полученной последовательности?

б. Каким должен быть выбран порядок ДПФ, если свёртка выполняется в частотной области?

в. Если используется ДПФ 1024-го порядка, сколько правильных и сколько искажённых отсчётов будет получено в результате круговой (циклической) свёртки?

г. Ответьте на вопросы а)…в), если один сигнал имеет протяжённость 490 отсчётов, а другой — 23 отсчёта.