ГЛАВА 10: СВОЙСТВА ДПФ

1. Спектр сигнала x[n] раскладывается на две последовательности: X_дейст.[f] и X_мним.[f], а спектр сигнала y[n] — на две другие последовательности: Y_дейст.[f] и Y_мним.[f]. Вычислите отсчёты спектров следующих сигналов:

а. x[n]/5;

б. 5.5y[n];

в. x[n] + y[n];

г. 3.14x[n] + y[n]/3.14;

д. ax[n] + by[n], где a и b — константы.

2. Пусть сигнал x[n] характеризуется в частотной области двумя составляющими: X_амп.[f] и X_ф.[f], а сигнал y[n] — двумя другими составляющими: Y_амп.[f] и Y_ф.[f]. Вычислите отсчёты следующих сигналов, представленных в частотной области:

а. x[n – 2],

б. 1.2x[n – 1],

в. y[n + 2]/10,

г. ax[n – b], где a и b — константы.

3. Пользуясь содержащимися в задачах 1 и 2 сигналами, ответьте на перечисленные ниже вопросы.

а. С какой трудностью приходится столкнуться при решении задачи 1 для сигнала x[n – 2]?

б. С какой трудностью приходится столкнуться при решении задачи 2 для сигнала x[n] + y[n]?

в. Завершите следующие утверждения, пользуясь полученными вами результатами:

«Сложение сигналов во временной области проще всего описать в частотной области с применением [впишите свой вариант] формы записи.»

«Задержку сигнала во временной области проще всего описать в частотной области с применением [впишите свой вариант] формы записи.»

«Умножение сигнала на константу во временной области проще всего описать в частотной области с применением [впишите свой вариант] формы записи.»

4. Считая, что на Рис.9.2 построен спектр цифрового сигнала с частотой дискретизации 160 Гц, изобразите с указанием масштаба этот спектр в диапазоне относительных частот –2.0…2.0.

5. Цифровой НЧ-фильтр пропускает все частоты ниже 0.1 и подавляет всё более высокие частоты.

а. Изобразите схематически АЧХ данного фильтра в диапазоне частот

–1.5…1.5.

б. Как изменится АЧХ фильтра, если его импульсную характеристику умножить на синусоидальную функцию с частотой 0.3.

в. Пользуясь тем же методом, что и в предыдущем пункте, опишите алгоритм перехода от НЧ-фильтра с частотой среза f_c к полосовому фильтру с центральной частотой f_цен. и шириной полосы пропускания BW.

г. Изобразите АЧХ фильтра, полученного в результате поэлементного умножения отсчётов импульсной характеристики на отсчёты дискретной косинусоиды с частотой, равной 0.5.

д. Пользуясь тем же методом, что и в предыдущем пункте, опишите алгоритм перехода от НЧ-фильтра с частотой среза f_нч. к ВЧ-фильтру с частотой среза f_вч.

е. Почему в алгоритме, описанном в пункте д), необходимо использовать косинус, а не синус?

6. В сигнале, несущем информацию о человеческом голосе, должны присутствовать частоты диапазона 100 Гц…4 кГц. В акустических системах класса HI-FI диапазон воспроизводимых частот ограничен пределами 20 Гц…20 кГц, что соответствует возможностям человеческого слуха.

а. Изобразите схематически на одном графике спектры этих двух сигналов, отразив отрицательные частоты. Предполагается, что спектр сигнала имеет одинаковое амплитудное значение на всём частотном диапазоне.

б. Часто к сигналу в электрических схемах добавляется постоянная составляющая (напряжение смещения), поскольку это позволяет ограничиться использованием однополярного питания (Рис. 10.14а). Ответьте на вопрос пункта а), предполагая, что в сигналах присутствует постоянная составляющая.

в. Изобразите спектр сигнала, полученного после поэлементного умножения речевого сигнала на синусоиду с частотой 1 МГц. Проделайте то же самое для сигнала с постоянной составляющей.

г. Изобразите спектр сигнала, полученного после поэлементного умножения сигнала музыкальной записи (HI-FI) на синусоиду с частотой 1.1 МГц. Проделайте то же самое для сигнала с постоянной составляющей.

д. Полосу какой ширины должно выделить государство радиостанции, чтобы при передаче речевого сигнала по принципу, описанному в пункте в), не возникло перекрытий с другими радиоканалами? Решите такую же задачу для пункта г).

е. Сколько речевых сигналов можно передать, используя полосу 50.1…50.2 МГц? Сколько в этой полосе можно разместить сигналов музыкальной записи? Как следует разместить сигналы, чтобы обеспечить их одновременную передачу?

7. Сигнал, описанный в пункте в) предыдущей задачи, не содержащий постоянной составляющей, обрабатывается цифровым фильтром, подавляющим все частоты ниже 1 МГц. Полученный в результате такой процедуры фильтрации сигнал называют сигналом с одной боковой полосой или SSB-сигналом (от англ. «single-sideband»).

а. Изобразите спектр сигнала с одной боковой полосой.

б. Несёт ли данный сигнал такую же информацию, что и исходный речевой сигнал?

в. Недостатком сигналов с одной боковой полосой является более сложная схема построения модулятора и демодулятора. В чём преимущество модуляции с одной боковой полосой перед обычной амплитудной модуляцией (AM)?

г. Приводит ли в данном случае уменьшение полосы частот к потере информации? Ответ обоснуйте.