ГЛАВА 11: ПАРЫ ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

1. Запишите математические выражения, описывающие перечисленные ниже сигналы в частотной области. Ответ можно представить в алгебраической или полярной форме записи. Например, x[n] = «дельта-функция»[n] в частотной области характеризуется парой функций Mag X[f] = 1 и Phase X[f] = 0.

а. x[n] = 2«дельта-функция»[n – 2];

б. x[n] = sin(2πn * 14/256);

в. x[n] = cos(2πn * 0.2);

г. x[n] = 1, при 10 < n < 18, = 0, в любом другом случае;

д. Свёртка сигнала г) с самим собой;

е. Функция Гаусса с центром в отсчёте с индексом 100, СКО которой равно 20;

ж. Сигнал, заданный в пункте е), умноженный на косинус частоты 0.3.

2. Имеющие опыт работы в области ЦОС и электротехники без труда могут определить приблизительное значение верхней граничной частоты спектра, просто взглянув на график (осциллограмму) сигнала. Данная задача позволит вам повысить свои практические навыки. Как правило, наиболее быстрое изменение сигнала соответствует наибольшей частоте, содержащейся в его спектре. Например, функция (sin x)/x, изображённая на Рис. 11.5а, содержит колебание с периодом 11 отсчётов, что означает, что верхняя граничная частота спектра равна приблизительно 1/11 = 0.09. Пример, показанный на Рис. 11.5c и d, имеет большее отношение к реальным сигналам. Треугольный импульс близок по форме к полупериоду синусоиды. Длительность изображённого здесь полупериода равна 16 отсчётам. Следовательно, период синусоиды равен 32 отсчётам, а наибольшая частота равна 1/32 = 0.03. Рассуждая подобным образом, оцените верхнюю границу спектров следующих сигналов.

а. Рис. 7.14, y[n];

б. Рис. 8.8b;

в. Рис. 9.7a;

г. Рис. 11.6b…d;

д. Рис. 3.5a (где время измеряется в секундах);

е. Рис. 10.14a;

ж. Рис. 13.8a.

з. Сигнал, отсчёты которого получены с помощью генератора случайных чисел.

и. Для некоторых из перечисленных выше сигналов, в книге приводится значение верхней границы спектра. Определите, насколько точен описанный в данной задаче метод приближённого оценивания? (Варианты ответа 1, 3, 10 и 30%).

3. Сигнал содержит 16 единичных отсчётов, расположенных последовательно друг за другом, а все остальные отсчёты имеют нулевые значения.

а. Найдите первые четыре частоты, на которых спектр сигнала принимает нулевое значение?

б. С каким периодом располагаются найденные точки на частотной оси?

в. Продемонстрируйте графически удачное соответствие прямоугольного импульса и равных по протяжённости отрезков синусоидальных функций, частота которых соответствует первому и второму нулям спектра данного прямоугольного импульса.

4. Детектор пропускает без изменения все положительные полупериоды синусоидального сигнала с частотой 0.125 и не пропускает отрицательные полупериоды, которые соответствуют нулевым значениям выходного сигнала.

а. Изобразите сигнал на входе детектора и спектр этого сигнала.

б. Изобразите сигнал на выходе детектора и спектр этого сигнала (точные амплитудные значения гармоник спектра рассчитывать не надо).

в. Какие из гармоник приводят к наложению спектра?

г. На какой частоте появляется 5-я гармоника?

д. На какой частоте появляется 10-я гармоника?

е. На какой частоте появляется 100-я гармоника?

5. Ответьте на следующие вопросы, пользуясь Рис. 11.10.

а. Чему равны наибольшие значения амплитудных спектров сигналов, изображённых на Рис. 11.10a и b?

б. Как выглядят фазовые спектры сигналов, изображённых на Рис. 11.10a и b? (ответ представьте в виде уравнения, выразив значение фазы через константы «альфа» и «бета»).

в. Воспользовавшись неравенством Парсеваля, сравните энергии сигналов, изображённых на Рис. 11.10a и b? Ответ поясните.

г. Вспомните из курса физики, что мощность сигнала равна энергии, выделяющейся в единицу времени. Какая мощность теряется в данной ЛЧМ-системе, если известно, что длина сигнала, изображённого на Рис. 11.10a, равна одному дискретному отсчёту, а длина сигнала, изображённого на Рис. 11.10b, равна 80 отсчётам?

6. На Рис. 11.5.a и e показаны соответственно функции (sin x)/x и Гаусса. Огибающие этих функций плавно спадают в обе стороны, стремясь к нулю, но никогда не достигая его.

а. Приведите уравнение, описывающее спад огибающих в обе стороны от центра симметрии.

б. Решите задачу a), заменив функцию (sin x)/x функцией Гаусса.

в. Если ширина главного лепестка спектра приблизительно одинакова для обоих сигналов (Рис. 11.5a и e), огибающая какого из этих импульсов спадает быстрее? Чтобы ответить на поставленный вопрос, вычислите огибающие функций в точках, удалённых от центра симметрии на 3, 10, 30, 100 и 300 отсчётов.

г. На каком отсчёте от центра симметрии огибающие импульсов спадают ниже уровня шума округления при использовании чисел с плавающей точкой и обычной (не удвоенной) точностью?

д. При использовании каких импульсов, гауссовских или прямоугольных, вероятность наложения спектра оказывается выше? Ответ обоснуйте.

е. При использовании каких импульсов, гауссовских или прямоугольных, вероятность возникновения перекрытия во временной области оказывается выше? Ответ обоснуйте.