Рекомендации для ученика

Изучи приведенный материал и примени его к задачам.

Для любого числа a и любых натуральных чисел m и n

(a^m)ⁿ = a^mn.

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются.

Для доказательства этого свойства воспользуемся определением степени с натуральным показателем:

(a^{m}) = \underset{n}{\underset{&undcub;}{a^{m} \cdot a^{m} \cdot a^{m} \cdot ... \cdot a^{m}}} = \overset{n}{\overset{&ovrcub;}{a^{m + m + m + ... + m}}} = a^{m n} .

Заметим, что, переписав эту формулу в обратном направлении, то есть в виде a^mn = (a^m)ⁿ, мы можем представить степень с составным показателем в виде степени другого числа с меньшим показателем, который является делителем исходного. Например, число x = 5¹² является квадратом некоторого числа, кубом некоторого числа, 4-й степенью некоторого числа и 6-й степенью некоторого числа: xявляется квадратом числа 5⁶, так как (5⁶)² = 5¹²; x является кубом числа 5⁴, так как (5⁴)³ = 5¹²; x является 4-й степенью числа 5³, так как (5³)⁴ = 5¹²; x является 6-й степенью числа 5², так как (5²)⁶ = 5¹².

Из правила возведения степени в степень следует, что

(a^m)ⁿ = (aⁿ)^m.

Например, можно утверждать, что 125² = (5³)² = (5²)³ = 25³ (поскольку оба этих числа равны 5⁶).

Несколько слов о записи вида a^{b^c} без скобок. Понятно, что скобки здесь можно расставить двумя разными способами: (a^b)^c и a^{(b^c)}. Вообще говоря, эти два выражения не равны между собой, например, (2³)⁴ = 2¹², а 2^(3⁴) = 2⁸¹.

Стоит иметь в виду, что при такой записи подразумевается, что a^{b^c} то есть сначала вычисляется показатель b^c, а потом в эту степень возводится число a.