Изучите приведённый материал и примените его к задачам.
Определение. Линейная функция — это функция вида f (x) = kx + b, где x — переменная, а k и kb – некоторые числа. Число k называется угловым коэффициентом линейной функции, а b — свободным членом.
Контрольные вопросы. Определите угловой коэффициент и свободный член линейной функции f (x) = 4x + 7.
Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции при k 0 и b = 0. Таким образом, линейная функция — это более общий вид зависимости, чем прямая пропорциональность.
Линейные функции служат для описания многих зависимостей в реальном мире. Например, при равномерном движении объекта по оси OX со скоростью v из начальной координаты x0 его координату x (t) в момент времени t можно вычислить по формуле x (t) = x0 + vt.
Контрольные вопросы. Пусть L (v) — измеряемое в километрах расстояние, проходимое катером за 4 часа при движении со скоростью v км/ч против течения реки при условии, что скорость течения равна 3 км/ч. Напишите формулу для L (v).
В случае если k 0, линейная функция называется постоянной, или константой.
Областью определения линейной функции является множество всех чисел. Область значений же зависит от углового коэффициента k. Если k = 0, то областью значений линейной функции является множество всех чисел. Если k = 0, то линейная функция имеет вид f (x) = b, то есть постоянна. В этом случае область значений линейной функции состоит только из числа b.
Как и в случае прямой пропорциональности, графиком линейной функции является прямая. Кроме того, при k не равном 0 график линейной функции f (x) = kx + b можно получить из графика прямой пропорциональности g (x) = kx сдвигом на |b| вверх (если b > 0) или вниз (если b < 0). При k = 0 графиком линейной функции будет прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; b).
Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух принадлежащих ему точек, отметить эти точки на плоскости и провести через них прямую. Удобно выбирать точки с целыми координатами.
Как и прямая пропорциональность, линейная функция f (x) = kx + b возрастает при k > 0 и убывает при k < 0. Если же k = 0, функция не убывает и не возрастает, она постоянна.