Рекомендации для учителя

Организационный момент.

На уроке будет рассмотрено понятие условной вероятности и сформулировано важное правило – правило умножения вероятностей.

Получение новых знаний

Часто случайное событие А в случайном опыте приходится рассматривать при условии, что произошло некоторое другое событие В. Наступление события В меняет эксперимент. По сути, при наступлении некоторого события мы получаем новый эксперимент, и вероятности других событий при этом могут измениться. Вероятность события А при условии события В может вырасти, уменьшиться или остаться прежней.

Пример 2. Правильную игральную кость бросают дважды. Найдите вероятности событий:

а) «в первый раз выпало менее шести очков, и сумма очков равна 8»;

б) «в первый раз выпало менее шести очков», если известно, что сумма выпавших очков равна 8.

Рис. 1 Пересечение

событий А и В

Желательный результат обсуждения

Введём обозначения для событий: А «в первый раз выпало не больше, чем 5 очков» и В «сумма выпавших очков равна 8».

В пункте (а) нужно найти вероятность пересечения событий А и В. Благоприятствующих исходов всего $N\left(A\cap B\right)=4$ (см. рис. 1), поэтому $\text{P}\left(A\cap B\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}.$

В пункте (б) нужно найти вероятность события А при условии, что событие В наступило. Такое событие обозначается А|В. Если событие В наступило, то от всего эксперимента осталось лишь пять элементарных событий: (6, 2), (5, 3), (4, 4), (3, 5) и (2, 6). Событию А из них благоприятствуют четыре последних (см. рис. 2). Поэтому

$P\left(A|B\right)=\frac{4}{5}=\mathrm{0,8.}$

Определение Вероятность события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А при условии события В. Обозначается эта вероятность P (А|В).

Чтобы понять, чем отличается безусловная вероятность от условной, проиллюстрируйте эксперименты на диаграммах Эйлера (рис. 3).

В пункте (а) мы нашли вероятность события, исходя из того, что всего элементарных событий 36 (см. рис. 3а). Когда же нас просят найти условную вероятность (б), эксперимент уже другой — он свёлся к событию В (см. рис. 3 б), и нужно найти долю благоприятных исходов уже не среди всех 36 событий, а среди пяти, благоприятствующих событию В.

Далее предложите ученикам задачу.

Пример 3. В некотором городе пятую часть населения составляют дети и подростки. Среди взрослых жителей четверть не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Какова вероятность того, что случайно выбранный житель города — взрослый работающий человек?

Желательный результат обсуждения. Искомая вероятность равна доле взрослых работников среди всего населения города. Из условия ясно, что взрослые составляют $\frac{4}{5}$ населения города, и $\frac{3}{4}$ из них работают. Значит, $$\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{5}$$ населения — взрослые работающие люди. Искомая вероятность равна 0,6.

Предложите учащимся посмотреть на эту задачу с другой стороны. Пусть событие А «выбранный горожанин работает», и событие B «выбранный горожанин — взрослый». Из условия следует, что доля взрослого населения $\frac{4}{5}$ и есть вероятность P (А|B). А $\frac{3}{4}$ — доля работающих среди взрослого населения — есть условная вероятность P (А|B). Вероятность одновременного наступления событий А и В оказалась равна произведению вероятностей, то есть

$\text{P}\left(A\cap B\right)=\text{P}\left(B\right)\cdot \text{P}\left(|B\right).$

Эту формулу мы получили на примере, но она верна для любых случайных событий в любых случайных опытах. Полученное равенство мы назовём правилом умножения вероятностей.

Правило умножения вероятностей. Вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

$\text{P}\left(A\cap B\right)=\text{P}\left(B\right)\cdot \text{P}\left(|B\right).$

Если вероятность события В больше нуля, то из этой формулы следует способ нахождения условных вероятностей:

$$\mathrm{P}\left(A|B\right)=\frac{\mathrm{P}\left(A\cap B\right)}{\mathrm{P}\left(B\right)}.$$