На этом уроке мы поговорим о законе больших чисел.
2. Подготовка к активному и сознательному усвоению материала.
Ранее неоднократно говорилось о том, что нельзя доказать, что вероятности орла и решки равны 1/2. Мы сами назначаем эти вероятности, опираясь на симметрию монеты. Равные шансы орла и решки подтверждаются экспериментально, если монета симметрична. Для проведения эксперимента на уроке учитель может воспользоваться интерактивным модулем «Монеты» (ссылка http://ptlab.mccme.ru/node/187), или же использовать готовые иллюстрации, содержащиеся в конспекте урока.
Запустите модуль сначала на 100 бросков, потом увеличивайте их количество. Обсудите со школьниками результаты эксперимента.
Пример обсуждения на результатах проведенного нами эксперимента. При 100 бросках количества выпавших орлов и решек незначительно отличаются. Частоты 0,46 и 0,54 близки.
При 500 бросках — результат похожий. Получились частоты 0,514 и 0,486. Обратите внимание учеников на процесс подсчёта. Высота столбиков диаграммы иногда может уравниватьсязначит, частоты орла и решки в какие-то моменты равны.
Если после каждого броска подсчитывать частоты выпадения орла и решки, то изменение частот с увеличением количества бросков можно видеть на графике. В интерактивном модуле график эксперимента открывается в закладке «Изменение относительных частот». Обсудите с учащимися график.
Выполните в модуле несколько серий по 1000 бросков и сравните получившиеся графики частот. Вначале частоты могут сильно отличаться друг от друга, но при увеличении количества бросков частоты приближаются к 0,5. Учащиеся наглядно убеждаются в том, что этот результат — не случайность, а закономерность.
Эта закономерность обсуждалась ранее: при небольшом числе опытов частота события может существенно отличаться от одной серии к другой. Если же число опытов в сериях велико, то частота события становится устойчивее и постепенно приближается к его вероятности. Так в опыте с монетой проявляется фундаментальный закон природы — закон больших чисел.
Этот закон обеспечивает стабильность и устойчивость массовых явлений. Для бросания монеты и события «выпал орёл» закон больших чисел можно сформулировать так: «при большом числе бросаний монеты частота выпадения орла, скорее всего, колеблется все меньше и меньше, приближаясь к числу 0,5».
Получение новых знаний.
Продолжите разговор о статистической устойчивости на следующем примере.
Пример 1. В качестве примера рассмотрим уже знакомую нам выборку значений напряжения в бытовой сети.
| 225 | 225 | 227 | 225 | 228 |
| 228 | 218 | 217 | 218 | 223 |
| 225 | 216 | 222 | 220 | 218 |
| 221 | 220 | 214 | 219 | 231 |
| 228 | 227 | 220 | 224 | 216 |
Построим по этим данным таблицу частот, выбрав подходящий шаг группировки:
| Напряжение, В | Частота |
|---|---|
| 209-211 | 0 |
| 212-214 | 0,04 |
| 215-217 | 0,12 |
| 218-220 | 0,28 |
| 221-223 | 0,12 |
| 224-226 | 0,20 |
| 227-229 | 0,20 |
| 230-232 | 0,04 |
| 233-235 | 0 |
Определим, какова доля значений от 215 до 226 В. Суммарная частота значений в трёх соответствующих интервалах равна
0,12 + 0,28 + 0,12 + 0,20 = 0,72.
Аналогично можно найти долю значений в любом другом диапазоне. Такие расчёты были бы бесполезны, если бы не статистическая устойчивость.
Частоты, средние значения и многие другие выборочные характеристики многих изменчивых величин мало отличаются от таких же характеристик всей совокупности или другой выборки. Это свойство изменчивых величин называют статистической устойчивостью. |
Чтобы статистическая устойчивость проявила себя в двух выборках, нужно чтобы эти выборки были сделаны в одинаковых условиях. Если в одной и той же квартире измерять напряжение электрической сети первый раз днём, второй раз вечером, когда во всём доме горит свет, а третий раз ночью, то, скорее всего, все три выборки будут значительно отличаться друг от друга по свойствам.
Чтобы выборка хорошо отражала свойства всей совокупности данных (их может быть бесконечно много), лучше всего, чтобы эта выборка была сделана случайным образом. Например, измерения напряжения нужно проводить на протяжении длительного времени в случайные моменты. Чем больше объём выборки (количество значений), тем лучше, как правило, проявляет себя статистическая устойчивость.
Владельца магазина интересует вероятность того, что клиент совершит покупку. Покупателя, приобретающего телевизор или стиральную машину, интересует их надёжность, то есть вероятность того, что купленная вещь прослужит долго. Узнать или вычислить вероятности в этих случаях мы не можем. Прибора для прямого измерения вероятностей нет. Но косвенный способ есть. Он основан на законе больших чисел.
Одно из проявлений закона больших чисел состоит в том, что при многократном повторении одного и того же опыта частоты событий в этом опыте будут близки к их вероятностям: |
Поэтому если число опытов велико, то частоту события можно использовать как приближённое значение вероятности этого события. Это математическая теорема, которая обосновывает статистическую устойчивость частот.
Статистическая устойчивость даёт возможность оценивать (приближённо находить) частоты и средние значения в недоступных нам массивах данных, пользуясь небольшой известной выборкой.
При этом нужно помнить, что в силу случайной изменчивости оценки, сделанные с помощью выборки, приблизительные. Изучением того, насколько хороши или плохи выборки, занимается теория вероятностей. Она часто позволяет дать ответ на вопрос, как сильно могут отличаться истинные частоты и средние от тех частот и средних, которые мы можем найти в сделанной выборке.