Рекомендации для ученика

На этом уроке мы познакомимся с некоторыми часто встречающимися распределениями, и узнаем, как в этом случае принято находить математическое ожидание и дисперсию.

Получение новых знаний.

Говоря о случайной изменчивости, мы отмечали, что часто изменчивость подчиняется закономерностям. Схожие опыты порождают схожие распределения. На этом занятии мы отдельно говорим о случайных величинах, которые возникают в знакомых нам опытах.

Геометрическое распределение

Пример 1. Вспомним опыт, в котором монету бросают до выпадения первого орла. Это серия испытаний до первого успеха. Элементарных событий в таком эксперименте бесконечно много, вероятность успеха при каждом отдельном броске $p=\frac{1}{2}$ при условии, что все предыдущие закончились неудачей, то есть решкой. Рассмотрим случайную величину «количество бросков в серии». Таблица распределения:

Значение	1	2	3	4	5	6	…	k	…
Вероятность	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{1}{64}$	…	$\frac{1}{2^k}$	…

Обратите внимание на то, что вероятности образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$p=\frac{1}{2}$$ и со знаменателем $$q=\frac{1}{2}$$.

Убедимся в том, что вероятности в сумме дают единицу. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии получаем:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$$

Рассмотрим опыт «испытания до первого успеха» в общем виде.

Пример 2. В этом опыте элементарные события (их бесконечно много) имеют вид ННН…НУ — последнее испытание оканчивается успехом после некоторого количества неудач. Вероятности элементарных событий:

$P(\text{У})=p,$$P(\text{НУ})=qp,$$P(\text{ННУ})=q^{2}p,$$P(\text{НННУ})=q^{3}p,$ и так далее.

Вероятности образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q.

Рассмотрим случайную величину T «число испытаний». Теперь каждое элементарное событие можно записать иначе. Например, элементарное событие У (успех в первой же попытке) имеет вид (T = 1), а элементарное событие НННУ запишется (T = 4) и т. д. Распределение случайной величины T задаётся формулой:

$P(T=k)=q^{k-1}p,$ где $k=\mathrm{1<mo>,</mo>2<mo>,</mo>3<mo>,</mo>}\dots$

Название происходит от того, что вероятности образуют геометрическую прогрессию.

Продемонстрируйте учащимся гистограммы геометрического распределения. Для случая $p=\frac{1}{2}$ диаграмма построена на рис. 1. На рис. 2 представлена диаграмма распределения при $p=\mathrm{0,6},$ а на рисунке 3 – при $p=\mathrm{0,1},$.

Предложите учащимся сравнить диаграммы. Что общего? Чем отличаются?

Поставим вопрос о математическом ожидании и дисперсии случайной величины T. Сначала попробуем найти математическое ожидание, пользуясь лишь интуицией и здравым смыслом. В качестве примера рассмотрим бросание монеты.

Существует также формула для нахождения дисперсии для геометрического распределения.

Теорема 2. Если вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна p, и вероятность неудачи q = 1 – p , то дисперсия случайной величины T «число испытаний до первого успеха» равна $DT=\frac{q}{p^2}.$

Следовательно, стандартное отклонение равно $$\frac{\sqrt{q}}{p}.$$

Биномиальное распределение

Напомним, что серией испытаний Бернулли называется случайный эксперимент, в котором производится несколько одинаковых независимых испытаний с двумя возможными исходами — успехом и неудачей. Вероятности успеха и неудачи обозначают соответственно p и q = 1 – p.

Рассмотрим случайную величину «число успехов в серии из n испытаний Бернулли» и обозначим её S. S может принимать целые значения от 0 до n. Событие (S = k) состоит в том, что в серии наступит ровно k успехов. По формуле Бернулли получаем вероятность

$$P(S=k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}.$$

Эта формула даёт распределение случайной величины S.

Пример 5. Рассмотрим биномиальное распределение для случая $n=\mathrm{16<mo>,</mo>}p=\mathrm{0,5}$ (рис. 4). Этому распределению соответствует, например, случайная величина «число орлов при бросании монеты 16 раз».

Рис. 4

Распределение этой величины показано на диаграмме (см. рис. 5).

Как видно, распределение вероятностей имеет форму, напоминающую колокол. Оно симметрично относительно наиболее вероятного значения $S=8.$ Это связано с тем, что вероятности успеха и неудачи одинаковы: $p=q=\mathrm{0<mo>,</mo>5.}$

Оставим прежним число испытаний n = 16, но уменьшим вероятность успеха. Пусть на этот раз p = 0,25. Как изменится распределение? По-прежнему форма диаграммы напоминает колокол (см. рис. 6). Но теперь симметрия нарушилась, а наиболее вероятное значение сдвинулось влево: оно равно 4.

Чтобы найти математическое ожидание без вычислений, снова положимся на здравый смысл и интуицию. Используем простую модель.

Пример 6. Предположим, что мы бросаем игральную кость и считаем успехом выпадение какой-то грани (например, шестёрки). Поскольку шестёрка выпадает с вероятностью $\frac{1}{6},$ т. е. на каждые шесть бросаний приходится в среднем одна шестёрка, на каждые 12 бросков разумно ждать две шестёрки, на каждые 18 бросков — три и т. д. Значит, при n бросках следует ожидать $n\cdot \frac{1}{6}$ шестёрок.

Следовательно, если испытаний n, а вероятность успеха в каждом равна p, то математическое ожидание числа успехов S, согласно нашим рассуждениям, должно равняться

$$ES=np.$$

Это рассуждение справедливо, но оно всё же не является строгим доказательством. Сформулируем теорему о математическом ожидании, доказательство которой не будем приводить.

Дисперсию числа успехов найти тоже несложно.