Предложите ученикам повторить определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми и основные подходы к нахождению расстояния между ними и выполнить задание повышенной сложности по стереометрии профильного ЕГЭ, при решении которого обучающимся предстоит провести доказательство геометрического факта и найти расстояние между объектами.

Общее решение:

$1$.  Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной плоскости ABC:

$AH=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$, $AS=\sqrt{SH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{15}$, $MN=AD=2\sqrt{3}$, $SM=SN=\sqrt{SA^{2}-AN^{2}}=2\sqrt{3}$.

Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT  — его высота и, следовательно, медиана, T  — середина SM.

$2$. Пусть K  — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC. Прямые NT и TK перпендикулярны, так как NT  — высота пирамиды NSCD. Поскольку отрезок TK перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть искомое расстояние.

Прямоугольные треугольники SKT и SMC подобны, следовательно, $\frac{KT}{MC}=\frac{ST}{SC}$. Из этого следует, что

$KT=\frac{ST\ \cdot\ CM}{SC}=\frac{SM\ \cdot\ CD}{4SC}=\frac{2\sqrt{3}\ \cdot\ 2\sqrt{3}}{4\ \cdot\ \sqrt{15}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.

$3$. Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$.