Объясните ученикам приведённый материал и примените его к задачам.
Что мы знаем про |x|? С одной стороны, это расстояние от точки с координатой x на числовой прямой до начала координат. Представьте себе, что вы находитесь в начале отсчёта на числовой прямой. Представили? А теперь попробуйте ответить на вопрос: какое расстояние вам придётся пройти до точки A (4)? Легко догадаться, что 4. Аналогично, до точки B (6) нужно пройти 6 единичных отрезков. Собственно, расстояние от 0 до любой точки с координатой x > 0 будет равно x.
Теперь рассмотрим точки с отрицательными координатами. Например, расстояние от начала координат до точки K (-2) вовсе не равно -2, ведь расстояние не может быть отрицательным. Оно равно 2.
С другой стороны, вы уже знаете, что модуль можно определить не только через расстояние: модулем числа x называется само число x, если оно неотрицательно, и число -x, если x меньше 0. Это функциональное определение модуля. Строго его можно записать так:
Соответственно,
|45| = 45, |0| = 0, а |-2021| = 2021.
Теперь давайте рассмотрим функцию f (x) = |x|. Сначала построим её график, а потом сформулируем основные свойства. Обычно мы строили графики по точкам, но в данном случае будет уместно обратить внимание на то, что, опираясь на функциональное определение, эту функцию можно представить в виде двух линейных функций, одна из которых определена на отрицательных числах, а другая — на неотрицательных.
Таким образом, при x 0 функция f (x) = |x| совпадает с хорошо известной нам функцией f (x) = x. Её график строится по двум точкам, например (1; 1) и (2; 2).
Заметим, что нам нужна только часть прямой, ведь мы строили часть графика y = |x| при x 0. Следовательно, точки прямой с отрицательными абсциссами нужно убрать, и у нас остаётся исходящий из начала координат луч.
Теперь давайте разбираться с отрицательными значениями x. Здесь нам требуется построить прямую y = ?x. Построим её по точкам, например, (-2; 2) и (-1; 1). Впрочем, теперь мы уже опытные и можем сразу строить не прямую, а луч, соответствующий x0.
Нарисовав на одной координатной плоскости оба луча, мы получим график функции f (x) = |x|.
Похож на галочку, правда? Собственно, нередко его и называют «галочкой». Для построения этого графика достаточно нарисовать два луча (они, кстати, являются биссектрисами прямых углов в первой и второй координатных четвертях).
Теперь давайте обсудим свойства функции f (x) = |x|. Прежде всего, она определена при всех действительных значениях x, а вот значения принимает только неотрицательные, то есть множество её значений — это луч [0; +∞). Функция f (x) = |x| возрастает на промежутке [0; +∞), поскольку здесь она совпадает с возрастающей функцией f (x) = x. Соответственно, на промежутке (-∞; 0) функция
f (x) = |x| убывает, потому что здесь она совпадает с убывающей функцией f (x) = -x. Наименьшее значение, равное нулю, функция f (x) = |x| принимает в точке x = 0. Наибольшего значения у функции нет, поскольку в множество её значений входят все неотрицательные числа.
Заметим, что получившийся график кажется симметричным относительно оси y. Проверим, так ли это: f (-x) = |-x| = |x| = f (x).
Следовательно, функция f (x) = |x| чётная, и её график действительно симметричен относительно оси ординат.
Кроме того, напомним, что функция, график которой состоит из частей прямых, называется кусочно-линейной. Значит, функция f (x) = |x| кусочно-линейная.
Давайте ещё раз перечислим основные свойства функции f (x) = |x|: