Рекомендации для ученика

Задача на повторение:

Велосипедист едет по парковой дорожке и планирует выехать из парка через один из пяти выходов (A, B, C, D или E). Велосипедист едет только вперёд, и на каждой развилке случайным образом выбирает одну из дорожек, по которой ещё не ехал. Какова вероятность того, что велосипедист покинет парк:

а) через выход A;
б) через выход E?

Получение новых знаний

Дерево случайного опыта, или дерево вероятностей — удобный инструмент решения задач, наряду с диаграммами Эйлера и координатной прямой.

Вспомните, что дерево — вид графа. Если в графе можно выйти из какой-то вершины и, «пройдя по кругу» по рёбрам графа, вернуться в ту же вершину, то говорят, что граф имеет цикл. Дерево — это граф без циклов. Все цепи в дереве расходятся, как ветки дерева.

Дерево случайного опыта позволяет рассматривать составной эксперимент как бы «по частям», мысленно расположить случайные события во времени или разбить на этапы.

Обратите внимание на то, что сумма вероятностей около всех рёбер, выходящих из одной вершины, равна единице. При построении дерева эксперимента важно за этим следить.

Важно понимать, что элементарные события эксперимента в дереве изображаются конечными вершинами дерева. К каждой конечной вершине ведёт единственная цепочка от точки S. Поэтому можно считать, что элементарные события изображаются не только конечными вершинами, но и ведущими к ним цепочками. Например, в нашей задаче пять элементарных исходов и, соответственно, пять цепочек. Событию «велосипедист выехал через выход А» соответствует цепочка S—2a—A.

Вероятности, которые мы подписывали на рёбрах — условные. Например, условная вероятность того, что велосипедист покинет парк через выход А при условии, что он был на перекрёстке 2а, составляет $\frac{1}{3}$ . Найдите вероятности всех возможных элементарных исходов эксперимента. Чтобы это сделать, нужно в соответствии с правилом умножения найти произведения условных вероятностей вдоль каждой цепочки, ведущей от S к конечной вершине. Подпишите полученные вероятности на рисунке рядом с элементарными событиями (рис. 2).

Рис. 2

Сумма всех вероятностей будет равна единице, как сумма вероятностей элементарных событий в любом случайном опыте.

Более сложные события (не элементарные) изображаются на дереве промежуточными вершинами или какой-либо фигурой, объединяющей элементарные исходы.

Важно! При построении дерева нужно следить, чтобы сумма вероятностей около всех рёбер, выходящих из одной вершины, была равна единице.

Правило сложения. Чтобы найти вероятность события с помощью дерева, нужно сложить вероятности всех цепочек, ведущих к этому событию от начальной вершины.

Пример. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало чётное число очков, а во второй раз – больше четырёх очков.

Обсуждение. Ради тренировки нарисуем полное дерево эксперимента (рис. 6). Не будем подписывать вероятности на всех ребрах – мы знаем, что каждая вероятность равна $\frac{1}{6}$. Элементарные исходы, благоприятствующие событию «в первый раз выпадет чётное число, а во второй – больше четырёх очков», выделены прямоугольниками.

Рис. 6

Такое дерево не имеет преимущества перед таблицей эксперимента. Кроме того, дерево содержит много лишней информации. Например, при первом броске нам важно только, чётно или нечётно выпавшее число.

Упростите дерево, «склеив» рёбра S-1, S-3 и S-5 в одно ребро «S-нечёт» и аналогично поступить с «чётными» рёбрами. Точно так же можно поступить и со вторым броском – склеиваются между собой рёбра, ведущие к вершинам 1 – 4 и рёбра, ведущие к вершинам 5 и 6 (рис. 7).

Рис. 7

Мы иначе представили эксперимент. Можно сказать, что у нас теперь новое множество элементарных событий. Назначить им вероятности несложно.

Нужную цепочку (S—чёт.—5-6) легко найти, искомая вероятность равна $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ .

Этот носит скорее методический, чем практический характер. Решение по формуле проще, но представление эксперимента в виде дерева позволяет глубже осознать этапы эксперимента: общая единичная вероятность в ходе опыта «делится»: сначала пополам (первый уровень дерева), а потом каждая из этих долей – в отношении 2:1 (второй уровень). Вспомните задачи на условную вероятность с долями населения, оказывается, у той задачи и нашей (про кубики) больше общего, чем казалось с первого взгляда.

Найдите вероятности других событий в этом опыте, например, вероятность события «в первый раз выпало чётное число очков, ИЛИ во второй раз – больше четырёх очков» (рис. 7). В этом случае вероятность равна сумме $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ . Также стоит обратить внимание на то, что в этом случае проще найти вероятность противоположного события (цепочка S—нечёт.—1-4) – его вероятность составляет $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ – и, отняв эту величину от единицы, получить ответ.

Рис. 8