Рекомендации для ученика

На этом уроке ты познакомишься с понятием частоты значения. Частоты будут необходимы для дальнейшего изучения темы «Случайная изменчивость».

Определение. Пусть в наборе всего $N$ значений, и значения, равные $a$, встречаются $N_a$ раз. Частотой значения $a$ называется отношение $\frac{N_a}{N}$.

Частота бывает не только у значения в наборе. Позже ты познакомишься с частотой события.

Частоты значений можно подсчитывать не только в числовых наборах, но и там, где значения не являются числами.

Свойство частот. В любом наборе сумма частот всех значений равна единице.

Докажем это свойство для набора, в котором четыре различных значения a, b, c и d, но каждое может встречаться несколько раз. Предположим, значение a встречается $N_a$ раз, а значения b, c и d встречаются $N_b$, $N_c$ и $N_d$ раз соответственно. Тогда в наборе $N=N_a+N_b+N_c+N_d$ значений. Частота значения а равна $\frac{N_a}{N}$ , частота b — $\frac{N_b}{N}$, частота с — $\frac{N_c}{N}$, частота d — $\frac{N_d}{N}$.

Найдем сумму частот:

Аналогичное свойство доказывается для набора, в котором любое количество значений. Пользуясь тем, что сумма частот всегда равна единице, удобно делать промежуточную проверку в вычислениях.

Теорема. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно умножить каждое из различных значений на его частоту, а затем полученные произведения сложить.

Или более формально:

ТЕОРЕМА. Пусть в наборе $N$ чисел, но среди них только $k$ различных чисел $x_1,x_{\mathrm{2<mo>,</mo>}}\mathrm{...,}{x}_k\mathrm{.}$ Пусть число $x_1$ встречается $N_1$ раз. Число $x_2$ встречается $N_2$ раз и т. д.: Число $x_k$ встпечается ровно $N_k$ раз. Тогда среднее арифметическое набора равно $$\overline{x}=x_1\cdot \frac{N_1}{N}+x_2\cdot \frac{N_2}{N}+\mathrm{...}+x_k\cdot \frac{N_k}{N}\mathrm{.}$$