Изучи приведённый материал и примени его к задачам.
В предыдущем уроке мы познакомились с понятием функции. А перед этим мы изучали графики реальных зависимостей и научились по графику находить наибольшее и наименьшее значение, а также промежутки возрастания и убывания зависимой величины. Давай вспомним, как мы это делали. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений мы искали самую высокую и самую низкую точки графика и определяли их ординаты. В случае функции, заданной графиком, мы делаем то же самое.
У функции, график которой изображён на этом рисунке, наибольшее значение равно 4, и достигается оно в точке x = 15. Наименьшее значение равно -6, и достигается оно в точке x = 3.
В прошлом уроке мы познакомились с множеством значений функций. Мы говорили, что множество значений — это совокупность всех значений, которые принимает функция. Давай определим множество значений функции по её графику.
Видно, что если график — это непрерывная линия, то множеством значений будет отрезок от наименьшего значения функции до наибольшего. Таким образом, для непрерывных функций, весь график которых мы видим на рисунке, мы получили простой способ находить множество значений.
Но бывают функции, графики которых не являются непрерывными. Например, вспомни вот этот график.
Видно, что наибольшее значение этой функции равно 7, а наименьшее равно 0. Однако областью значений является не отрезок [0; 7], а набор чисел 0, 1, 2, 3, 6, 7.
Ещё один важный набор точек при исследовании функции — это нули функции, то есть те значения аргумента, при которых значение функции равно 0. Заметь, что значение функции, равное 0, соответствует тем точкам графика, ординаты которых равны 0. А точки координатной плоскости, ординаты которых равны нулю, — это точки, лежащие на оси абсцисс. Получается, что нули функции — это абсциссы точек, в которых график пересекает ось x. Действительно, посмотри на рисунок.
Выделенные точки лежат на графике, их координаты по y равны 0. Мы хотим найти значения x, при которых значение функции равно 0.
В нашем случае это -3, -1, 0, 1, 3. Именно эти значения аргумента будут нулями нашей функции.
Давай посмотрим на нашу функцию на интервалах, концами которых являются её нули: (-3; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; 3). Заметь, что на интервалах (-3; -1) и (0; 1) функция принимает только положительные значения, а на интервалах (-1; 0) и (1; 3) — только отрицательные, то есть на каждом из перечисленных интервалов функция принимает значения одного знака.
Давай рассмотрим точки графика функции, лежащие в верхней полуплоскости. Проекция этих точек на ось абсцисс состоит из нескольких промежутков, на каждом из которых функция принимает только положительные значения.
Интервалы, на которых функция сохраняет знак, называются промежутками знакопостоянства. И мы только что заметили полезное свойство: если график функции — непрерывная кривая, то между двумя соседними нулями функция не меняет знак (иными словами, область определения разбивается нулями на промежутки знакопостоянства). Обрати внимание, что сами нули к промежуткам знакопостоянства не относятся, потому что функция там равна 0 и знака не имеет.