Корни квадратного трехчлена
Для трехчлена $2z^2 + 2z + 1 = 0$:
$z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$
$z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$
Тригонометрическая форма
Для $z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$:
$|z_1| = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\varphi_1 = \frac{3\pi}{4}$
Для $z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$:
$|z_2| = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\varphi_2 = -\frac{3\pi}{4}$
Вычисление $z_1^3$ и $z_2^2$
Применяя формулу Муавра:
$z_1^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 \left(\cos \frac{9\pi}{4} + i\sin \frac{9\pi}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}$
$z_2^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \left(\cos \frac{-6\pi}{4} + i\sin \frac{-6\pi}{4}\right) = \frac{i}{2}$
Вычисление $e^{z_1}$ и $\ln z_2$
Применяя формулы:
$e^{z_1} = e^{-\frac{1}{2}} \left(\cos \frac{1}{2} + i\sin \frac{1}{2}\right) \approx 0.5323 + 0.2908i$
$\ln z_2 = \ln \frac{1}{\sqrt{2}} + i \cdot \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{3\pi i}{4}$
Результаты вычислений
д) Вычислить $z_1^3$ и $z_2^2$:
$z_1^3 = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}$
$z_2^2 = \frac{i}{2}$
е) Вычислить $e^{z_1}$ и $\ln z_2$:
$e^{z_1} = \frac{1}{\sqrt{e}} \left(\cos \frac{1}{2} + i\sin \frac{1}{2}\right) \approx 0.5323 + 0.2908i$
$\ln z_2 = -\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{3\pi i}{4} \approx -0.3466 - 2.3562i$