Шаг 0: Исходная матрица
Записываем систему в виде расширенной матрицы.
| 1 | -1 | 1 | -1 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 8 |
| 2 | 4 | 5 | 10 | 20 |
| 2 | -4 | 1 | -6 | 5 |
Шаг 1: Обнуляем первый столбец
Цель: получить нули под элементом $a_{11}$.
$R_2 \leftarrow R_2 - 1 \cdot R_1$
$R_3 \leftarrow R_3 - 2 \cdot R_1$
$R_4 \leftarrow R_4 - 2 \cdot R_1$
| 1 | -1 | 1 | -1 | 4 |
| 0 | 2 | 1 | 4 | 4 |
| 0 | 6 | 3 | 12 | 12 |
| 0 | -2 | -1 | -4 | -3 |
Шаг 2: Обнуляем второй столбец
Цель: получить нули под элементом $a_{22}$.
$R_3 \leftarrow R_3 - 3 \cdot R_2$
$R_4 \leftarrow R_4 + 1 \cdot R_2$
| 1 | -1 | 1 | -1 | 4 |
| 0 | 2 | 1 | 4 | 4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Шаг 3: Анализ результата
Последняя строка соответствует уравнению $0 \cdot x_1 + ... + 0 \cdot x_4 = 1$, то есть $0=1$. Это противоречие.
| 1 | -1 | 1 | -1 | 4 |
| 0 | 2 | 1 | 4 | 4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Вывод: Система несовместна, решений нет.