Шаг 1: Первая частная производная $\frac{\partial f}{\partial y}$
Применяем правило дифференцирования частного для $f(x,y) = \frac{x^2 + xy}{x^2 + y^2}$.
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x(x^2 + y^2) - (x^2 + xy)(2y)}{(x^2 + y^2)^2}$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^3 + xy^2 - 2x^2y - 2xy^2}{(x^2 + y^2)^2}$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^3 - 2x^2y - xy^2}{(x^2 + y^2)^2}$$
Шаг 2: Вторая частная производная $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$
Снова применяем правило дифференцирования частного к результату Шага 1.
$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{(-2x^2 - 2xy)(x^2 + y^2) - (x^3 - 2x^2y - xy^2)(4y)}{(x^2 + y^2)^3}$$
$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{-2x^4 + 6x^2y^2 - 6x^3y + 2xy^3}{(x^2 + y^2)^3}$$
Шаг 3: Подстановка точки $A(2;4)$
Подставляем $x=2$ и $y=4$ в полученное выражение.
$$\text{Числитель} = -2(2)^4 + 6(2)^2(4)^2 - 6(2)^3(4) + 2(2)(4)^3 = 224$$
$$\text{Знаменатель} = (2^2 + 4^2)^3 = (4 + 16)^3 = 20^3 = 8000$$
Окончательный ответ: $\frac{224}{8000} = \frac{7}{250}$