Шаг 1: Нахождение частной производной по $y$
Дифференцируем каждый член функции $f(x,y)$ по $y$, считая $x$ константой.
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^4) - \frac{\partial}{\partial y}(x^3y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(5x^3y^3) - \frac{\partial}{\partial y}(5x^4) - \frac{\partial}{\partial y}(2x^4y^4) - \frac{\partial}{\partial y}(2x^5y)$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 2x^3y + 15x^3y^2 - 0 - 8x^4y^3 - 2x^5$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 2x^3y + 15x^3y^2 - 8x^4y^3 - 2x^5$$
Шаг 2: Подстановка координат точки $A(1;3)$
Подставляем $x=1$ и $y=3$ в полученное выражение для частной производной.
$$\frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{(1,3)} = 4(3)^3 - 2(1)^3(3) + 15(1)^3(3)^2 - 8(1)^4(3)^3 - 2(1)^5$$
$$= 4 \cdot 27 - 2 \cdot 1 \cdot 3 + 15 \cdot 1 \cdot 9 - 8 \cdot 1 \cdot 27 - 2 \cdot 1$$
$$= 108 - 6 + 135 - 216 - 2$$
$$= 19$$
Окончательный ответ: $\frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{(1,3)} = 19$