Шаг 1: Разделение ряда

Разбиваем исходный ряд на сумму двух геометрических рядов.

$$f(x) = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x+5}{8}\right)^n + 10 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x+6}{8}\right)^n$$

Шаг 2: Определение параметров рядов

Для каждого ряда находим первый член ($a_1$) и знаменатель ($r$).

$$\text{Ряд 1: } a_1 = \frac{x+5}{4}, r_1 = \frac{x+5}{8}$$ $$\text{Ряд 2: } a_2 = \frac{5(x+6)}{4}, r_2 = \frac{x+6}{8}$$

Шаг 3: Вычисление сумм рядов

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{a_1}{1-r}$.

$$S_1 = \frac{2(x+5)}{3-x}$$ $$S_2 = \frac{10(x+6)}{2-x}$$ $$f(x) = \frac{2(x+5)}{3-x} + \frac{10(x+6)}{2-x}$$

Шаг 4: Вычисление $f(1)$

Подставляем $x=1$ в полученное выражение для $f(x)$.

$$f(1) = \frac{2(1+5)}{3-1} + \frac{10(1+6)}{2-1}$$ $$f(1) = \frac{12}{2} + \frac{70}{1} = 6 + 70$$

Окончательный ответ: $f(1) = 76$