Визуализация решения уравнения
1. Графическое представление функций
График показывает функции \(f(x) = \sin 2x\) (синяя) и \(g(x) = \sqrt{2}\sin x\) (красная). Точки пересечения - решения уравнения.
2. Ключевые преобразования
\begin{align}
\frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11 \sin x}} &= 0 \\
9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x} &= 0 \\
3^{2\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x} &= 0 \\
3^{2\sin 2x - 2\sqrt{2}\sin x} &= 1 \\
2\sin 2x - 2\sqrt{2}\sin x &= 0 \\
\sin 2x &= \sqrt{2}\sin x \\
2\sin x \cos x &= \sqrt{2}\sin x \\
2\cos x &= \sqrt{2} \\
\cos x &= \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{align}
3. Проверка потенциальных решений
| Потенциальное решение |
Проверка ОДЗ (\(\sin x > 0\)) |
Проверка уравнения |
Результат |
| \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\) |
\(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0\) |
\(\sin 2x = 1, \sqrt{2}\sin x = 1\) |
Решение ✓ |
| \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\) |
\(\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0\) |
Не удовлетворяет ОДЗ |
Не решение ✗ |
| \(x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\) |
\(\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0\) |
Не удовлетворяет ОДЗ |
Не решение ✗ |
4. Решения на тригонометрической окружности
Зеленые точки показывают решения уравнения на тригонометрической окружности. Красные точки не удовлетворяют ОДЗ.